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啥是MPN?(进阶篇)

发布时间: 2020-09-10

上期是MPN的入门篇,相信您已经领悟了MPN的意义。本期是进阶篇,主要告知MPN的数学原理,就是MPN值是怎么算出来的,可能有点枯燥,但是也很有趣。阅读进阶篇需具备以下数学基础:高中的排列组合、大学的概率论与数理统计,以及微积分。


进阶篇

入门篇里我们提到了二项式分布,从图上看,很多人估计都会觉得这像正态分布。没错,仅仅也就是像而已。


我们先来搞明白这几个随机变量分布。二项式分布是一个比较简单的分布,适用于样品量不大的试验。如果把样品量放大,概率变小,那么二项式分布就无限逼近泊松分布了。泊松分布是有限个数世界里的王者。如果把泊松分布样品量也无限大,它就会逼近正态分布,而正态分布是无限世界的分布。有限个数和无限个数,是我自己给出的概念,目的是让你理解。数学上叫离散型和连续型。


如果把全球70亿人作为样本,分析某个指标,你觉得应该用什么分布?只能是泊松分布,因为70亿虽然很多,但是是有限个数。数学就是这么残酷,70亿很大么?毛毛雨啦。


如果想分析数字0到数字1之间的某个随机变量的分布,那才能用到正态分布。因为0到1之间是连续的,是可以无限划分的,只要小数点后面位数足够,它就是无限的。现在你明白,有限和无限的区别了吧。


啥是MPN?(进阶篇)


所以我们做微生物数量分析,虽然微生物数量动辄几十亿,上百亿,但是在数学面前都是有限的。所以下面的计算只用到了泊松分布和二项式分布


言归正传,MPN法是有两个假设前提的。为了方便理解,我们还是以水质中大肠检验为例。第一,大肠菌在水体中都是以均匀分散状态存在的,没有若干个大肠菌结成一团的情况(知道为啥样品要均质了吧)。第二,如果水体和水样的容积分别以V和v表示,水体和水样中的大肠菌数分别以n和x表示。那么,V与v相比,n与x相比,都是很大的数字。就是说,v和x相对来说都是小到可以忽略的数字。就好像你去长江里取一瓶水,这瓶水对长江来说,可以忽略。


在容积为v的水样中恰好出现x个大肠菌的概率符合泊松分布

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其中,x=0,1,2,3,......


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在水样容积v中恰好出现零个大肠菌的概率为:

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如果每毫升水样中的大肠菌个数为λ(注意:由此可知λ的单位是个/mL,则水样v毫升中不出现大肠菌的概率为:

啥是MPN?(进阶篇)

如果每毫升水样中大肠菌个数为λ,则水样中出现大肠菌的概率为:

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那么在N支样品容积为v的发酵管试验中,恰好出现r支显阴性反应,N-r支显阳性反应的概率为:

啥是MPN?(进阶篇)

在N1支样品容积v1、N2支样品容积v2、N3支样品容积v3毫升的发酵管试验中,如果呈阴性反应的支数恰好分别是r1、r2及r3,而呈阳性反应的支数恰好分别为N1-r1、N2-r2、N3-r3时,每毫升水样中的大肠菌数仍用λ表示,那么,这一试验结果发生的概率为:


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好了,公式终于推出来了。我们的最大可能数就是上面这个公式中f(λ)最大值时对应的λ值,也就是我们想知道的浓度值。

先介绍一个最原始的计算过程。


这个公式中现在有四个未知量,N、r、v和λ。如果带入具体试验,你会发现其实只有一个λ是真正未知的。

例如,我们做9管法,稀释度选10倍、100倍和1000倍,阳性管数是1-0-0(本来想算3-2-1,结果呕血三升,实在算不下去,放弃了,又选了一个简单的)那通过查MPN表结果是3.6MPN/g。那么N1、N2、N3都是3,r1、r2、r3代表阴性管,所以分别是2、3、3。那么v1、v2、v3就是稀释度下样品含量分别是0.1mL、0.01mL和0.001mL。未知的就只剩λ了,那么把上面这些参数代入公式,计算如下:


啥是MPN?(进阶篇)


把这个公式转化成函数图是这样的:


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是不是和抛硬币的那个图完全不同了?这上面横坐标就是1-0-0中对应的所有可能的菌浓度。我们要找的是最可能的值,也就是函数的最高点对应的λ值。


怎么算呢?用微积分求导数就行了,最高点的导数是等于0的。所以把上述公式求导:


啥是MPN?(进阶篇)


这就是刚才公式的导函数,只要让这个导函数等于0,求相应的λ值就行了。具体计算对数学专业人士应该挺简单的,但是对我们还是挺复杂的,所以我们再取个巧,直接做函数图,图上会帮我们计算。


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看结果出来了,是3.571,四舍五入之后就是MPN表上的3.6了。我们看到的MPN表上的数值都是四舍五入之后的。


这么计算太麻烦了,所以在1942年,Thomas先生给出了一个估算MPN值的方法,计算过程比上面的方法简单了很多很多。目前FDA介绍的也是这种估值的算法。注意,这个方法算出是估值,不是准确值。


公式是这样的:

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带入公式:

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估值是3.59,我们用第一个方法算出来的是3.571,结果还是很接近的,但是计算过程可是省事了很多,既不用求导数也不用解方程。而且两个数四舍五入之后都是3.6。


好了,计算方法都介绍完了,如果每次我们做完试验都需要这么计算一番才知道结果,是不是很痛苦?所以McCrady先生才做了MPN,表格的每一项都是计算出来的,绘成表格后使用就方便了。只要查出管数的阳性数就可以查到相应的MPN值了。所以请珍惜和重视我们的MPN表吧,每个数据都是一点点算出来的,刹费苦心啊。


最后说一点,MPN/g与MPN/100g能不能换算?怎么换算呢?看完上面的介绍和计算应该明白了吧。可以换算,直接把MPN/g乘以100,就是MPN/100g其实就是公式中λ的单位,现在假设的是个/mL,分子分母同时乘以100,就是个/100mL。


举个例子。还是以大肠菌群的国标为例,我们从两个标准附录中的MPN表里随机挑选几个组合,列成下表。左边是2003年的,右边是2016年的。


啥是MPN?(进阶篇)


上表可以看出两个不同,一个是黄色标注的稀释度不同,一个是绿色标注的结果单位不同。为了更直观的看到这个100倍的差异,我们把稀释度统一一下。根据国标MPN表中备注,选不同稀释度时结果可相应放大或缩小一定倍数,那么表格就变成了这样。


啥是MPN?(进阶篇)


稀释度统一后,我们再来看结果,发现是不是就是100倍的差别?有两个不同的,你想到了什么?是不是四舍五入?之前我就提过,MPN表有四舍五入修约的,不同时代的MPN表保留有效数字的位数不同,所以就修约成了不同的样子,但是他们本质上就是原始公式中λ的单位而已。


如果看到这里,在不翻书不求助的情况下,上面的计算你都能看懂。


啥是MPN?(进阶篇)

恭喜您了,您一定是万中无一的数学人才!!!!!


毕竟大学毕业也好几年了,就算刚毕业,也距离大一大二好几年了。很多东西都还给老师了,您如果还能记得,请一定重视自己的数学天赋,您的未来不可限量!!!!!